Question

7．橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）斜率為$\frac{a}$的直線與橢圓C交于A、B兩點（如圖），AB中點為M，MA中點時橢圓C的右焦點F，求橢圓C的離心率e．

Answer 1

分析 通過將直線AB方程y=$\frac{a}$x-$\frac{bc}{a}$與橢圓方程聯立，利用韋達定理可知x_A+x_B=c，進而y_A+y_B=-$\frac{bc}{a}$，進而點M坐標為（$\frac{c}{2}$，-$\frac{1}{2}$•$\frac{bc}{a}$），通過設A（x，y），利用MA的中點是橢圓C的右焦點F可知，A（$\frac{3}{2}$c，$\frac{1}{2}$•$\frac{bc}{a}$），再代入橢圓方程計算即得結論．

解答 解：依題意，直線AB方程為：y=$\frac{a}$x-$\frac{bc}{a}$，
并與橢圓方程聯立，消去y整理得：
2x²-2cx-b²=0，
∴x_A+x_B=c，
∴y_A+y_B=$\frac{a}$（x_A+x_B）-2•$\frac{bc}{a}$=$\frac{a}$•c-2•$\frac{bc}{a}$=-$\frac{bc}{a}$，
∴x_M=$\frac{1}{2}$（x_A+x_B）=$\frac{c}{2}$，y_M=$\frac{1}{2}$（y_A+y_B）=-$\frac{1}{2}$•$\frac{bc}{a}$，
∴點M坐標為（$\frac{c}{2}$，-$\frac{1}{2}$•$\frac{bc}{a}$），
設A（x，y），由MA的中點是橢圓C的右焦點F可知，
$\frac{\frac{c}{2}+x}{2}$=c，且$\frac{-\frac{bc}{2a}+y}{2}$=0，
解得：x=$\frac{3}{2}$c，y=$\frac{1}{2}$•$\frac{bc}{a}$，
又∵點A在橢圓上，
∴$\frac{（\frac{3c}{2}）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{bc}{2a}）^{2}}{^{2}}$=1，
整理得：$\frac{5}{2}$•$（\frac{c}{a}）^{2}$=1，
∴$（\frac{c}{a}）^{2}$=$\frac{2}{5}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．