Question

7．三棱錐P-ABC中，AB=AC=PB=PC=5，PA=BC若該三棱錐的四個頂點在同一個球面上，且球的表面積為34π，則棱PA的長為（　�。�

• A． 3
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $3\sqrt{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 設PA=t，依題意可將三棱錐補成長方體（如圖），設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{b^2}=25\\{b^2}+{c^2}={t^2}\\{c^2}+{a^2}=25\end{array}\right.$$⇒{a^2}+{b^2}+{c^2}=\frac{{50+{t^2}}}{2}$，由于球的表面積為34π，可得a²+b²+c²=34，所以$\frac{{50+{t^2}}}{2}=34$，即可解得t

解答 解：設PA=t，依題意可將三棱錐補成長方體（如圖），
設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{b^2}=25\\{b^2}+{c^2}={t^2}\\{c^2}+{a^2}=25\end{array}\right.$$⇒{a^2}+{b^2}+{c^2}=\frac{{50+{t^2}}}{2}$，
長方體的外接球的半徑R=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}}{2}$
由于球的表面積為4πR²=34π，可得a²+b²+c²=34，所以$\frac{{50+{t^2}}}{2}=34$，解得$t=3\sqrt{2}$，
選C．

點評 本題考查了幾何體的外接球，把椎體體補成柱體是解題的常用方法之一，屬于中檔題．