Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0.

(1)若此方程表示圓,求m的取值范圍;

(2)若(1)中圓與直線(xiàn)x+2y-4=0相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON，求m的值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

(3)在(2)的條件下,求以MN為直徑的圓的方程.

Answer 1

解：(1)由Δ=20-4m＞0,得m＜5.

(2)將x=-2y+4代入x²+y²-2x-4y+m=0,得5y²-16y+8+m=0.

由Δ=16²-20(8+m)＞0,得m＜.

設(shè)M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),

由OM⊥ON有k_OM·k_ON=-1.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

又x₁=-2y₁+4,x₂=-2y₂+4,

∴5y₁y₂-8(y₁+y₂)+16=0.

將y₁+y₂=,y₁y₂=代入解得m=.

(3)當(dāng)m=時(shí),因圓心H(a,b)是MN的中點(diǎn),

故b==,a=-2b+4=.

半徑R=|MN|=|y₁-y₂|=.

∴以MN為直徑的圓的方程為(x-)²+(y-)²=.