Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²+2x+2a-a²．
（1）當a=$\frac{1}{2}$時，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若對于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a值代入，利用二次函數(shù)求解即可；
（2）求出二次函數(shù)對稱軸x=-1，知函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上遞增，只需函數(shù)的最小值f（1）大于零即可．

解答 解：（1）當a=$\frac{1}{2}$時，
f（x）=x²+2x+$\frac{3}{4}$＞0，
∴x＞-$\frac{1}{2}$或x＜-$\frac{3}{2}$，
∴解集為（-∞，-$\frac{3}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）f（x）=x²+2x+2a-a²，
對稱軸為x=-1，
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上遞增，
任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
∴f（1）＞0，
∴-1＜a＜3．

點評 考查了二次不等式求解和二次函數(shù)最值問題．屬于基礎題型，應熟練掌握．