Question

若a，b∈R，且（a+1）（b+1）=2，求arctana+arctanb．

Answer 1

分析：令α=arctana，β=arctanb．根據(jù)反正切的定義，得tanα=a，tanβ=b．由（a+1）（b+1）=2化簡得tanα+tanβ=1-tanαtanβ，結(jié)合兩角和的正切公式算出tan（α+β）=1，再由反正切函數(shù)的定義算出α+β=-

3π

4

或

π

4

，即得arctana+arctanb的值．

解答：解：令α=arctana，β=arctanb．
則tanα=a，tanβ=b
∵（a+1）（b+1）=2，即（tanα+1）（tanβ+1）=2
∴化簡得tanα+tanβ=1-tanαtanβ
可得tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=1
根據(jù)反正切函數(shù)的定義，得α=arctana∈（-

π

2

，

π

2

），β=arctanb（-

π

2

，

π

2

）
∴α+β=-

3π

4

或

π

4

即arctana+arctanb=-

3π

4

或

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出已知等式，求反正切函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值的和．著重考查了兩角和的正切公式和反正切函數(shù)的定義與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．