Question

12．已知集合M={m+i（4-m）²（m∈R），3}，和集合N={5i，2cosx+i（λ+3sinx）（λ∈R，x∈R），（其中i為虛數(shù)單位）．若滿足M∩N⊆M，M∩N≠∅，求實數(shù)λ的最大值和最小值．

Answer 1

分析 得到m+（4-m²）i=2cos x+（λ+3sin x）i，由復(fù)數(shù)相等的條件得$\left\{\begin{array}{l}{m=2cosx}\\{4{-m}^{2}=λ+3sinx}\end{array}\right.$，表示出λ，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出λ的范圍即可．

解答 解：若M∩N⊆M，M∩N≠∅，
所以m+（4-m²）i=2cos x+（λ+3sin x）i，
由復(fù)數(shù)相等的條件得$\left\{\begin{array}{l}{m=2cosx}\\{4{-m}^{2}=λ+3sinx}\end{array}\right.$，
所以λ=4-m²-3sinθ，
=4-4cos²x-3sinx，
=4${（sinx-\frac{3}{8}）}^{2}$-$\frac{9}{16}$，
因為-1≤sinθ≤1．
所以當sinx=$\frac{3}{8}$時，λ_min=-$\frac{9}{16}$，
當sinθ=-1時，λ_max=7，所以-$\frac{9}{16}$≤λ≤7．

點評 如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d．特殊地，a，b∈R時，a+bi=0?a=0，b=0．復(fù)數(shù)相等的充要條件，提供了將復(fù)數(shù)問題化歸為實數(shù)問題解決的途徑．