Question

（2012•眉山一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=2，M是BC的中點．
（I）求證：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-M的大�。�

Answer 1

分析：（I）連接A₁B，交AB₁于P點，由平行四邊形對角線互相平分及M是BC的中點，結合三角形中位線定理可得PM∥A₁C，進而由線面平行的判定定理得到A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）以C為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面AB₁M的法向量和平面AB₁B的法向量，代入向量夾角公式，可求二面角B-AB₁-M的大小

解答：證明：（I）連接A₁B，交AB₁于P點，
則P是A₁B的中點，
又M是BC的中點
則PM∥A₁C
又∵PM?平面AB₁M，A₁C?平面AB₁M
∴A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，
以C為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系
∵CA=CB=CC₁=2，M是BC的中點
則A（2，0，0），B（0，2，0），M（0，1，0），B₁（0，2，2），
則

AM

=（-2，1，0），

AB1

=（-2，2，2），

AB

=（-2，2，0）
設平面AB₁M的法向量為

m

=（x，y，z）
則

m • AB1 =0 m • AM  =0

，即

-2x+2y+2z=0 -2x+y=0

令x=1，則

m

=（1，2，-1）
設平面AB₁B的法向量為

n

=（a，b，c）
則

n • AB1 =0 n • AB  =0

，即

-2a+2b+2c=0 -2a+2b=0

令a=1，則

n

=（1，1，0）
∵cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

2

∴二面角B-AB₁-M的大小為30°

點評：本題考查的知識點是線面平行的判定及二面角的求解，其中（1）的關鍵是證得PM∥A₁C，（2）的關鍵是建立空間直角坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題．