Question

曲線y=f(x)=ax³+bx²+cx,當x=1-時,f(x)有極小值，當x=1+處有極大值，且在x=1處切線的斜率為.

(1)求f(x)；

(2)曲線上是否存在一點P，使得y=f(x)的圖象關于點P中心對稱？若存在，請求出點P坐標，并給出證明；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解:(1)f′(x)=3ax²+2bx+c.

∵當x=1±時,f(x)有極小值及極大值,

∴f′(1±)=0,即1±為3ax²+2bx+c=0的兩根.

∴

∴b=-3a,c=-6a.                                                            

又∵f(x)在x=1處切線的斜率為,

∴f′(1)=,∴3a+2b+c=.

∴a=-,b=,c=1.

∴f(x)=-x³+x²+x.                                                      

(2)假設存在P(x₀,y₀)，使得f(x)的圖象關于P中心對稱，

則f(x₀+x)+f(x₀-x)=2y₀,

即-(x₀+x)³+(x₀+x)²+x₀+x-(x₀-x)³+(x₀-x)²+x₀-x=2y₀,

化簡得(1-x₀)x²+x₀²+2x₀-x₀³=2y₀.

∵對于任意x∈R等式都成立,

∴

∴x₀=1,y₀=.易知P(1，)在曲線y=f(x)上.

∴曲線上存在P(1，)使得f(x)的圖象關于點P中心對稱.