Question

16．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，則$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值為$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意整體代入可得$\frac{1}{a}+\frac{2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}+\frac{2}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{a}$+$\frac{2a}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞0，b＞0，且a+b=2，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}+\frac{2}$）（a+b）
=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{a}$+$\frac{2a}$）≥$\frac{1}{2}$（3+2$\sqrt{2}$）=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，
當且僅當$\frac{a}$=$\frac{2a}$即b=$\sqrt{2}$a時取等號，
結合a+b=2可解得a=2$\sqrt{2}$-2且b=4-2$\sqrt{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查基本不等式求最值，整體代入并變形為可用基本不等式的形式是解決問題的關鍵，屬基礎題．