Question

如果實(shí)數(shù)x，y滿足，求：

(1)的最大值；(2)y－x的最小值．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)設(shè)，得y=kx，所以k為過(guò)原點(diǎn)的直線的斜率． 又表示以(2，0)為圓心，半徑為的圓，如圖所示． 當(dāng)直線y=kx與已知圓相切且切點(diǎn)在第一象限時(shí)，k最大， 此時(shí)，，|OC|=2． ∴Rt△POC中，∠POC=60°，． ∴的最大值為． (2)設(shè)y－x=b，即為直線y=x＋b，b為直線在y軸上的截距，如圖所示． 當(dāng)直線y=x＋b與圓有公共點(diǎn)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切，且切點(diǎn)在第四象限時(shí)b最小．此時(shí)，圓心(2，0)到直線的距離為，即． 解得或(舍)． ∴y－x最小值為．

提示：

分析：表示以(2，0)為圓心，半徑為的圓，為點(diǎn)P(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，設(shè)y－x=b，則y=x＋b，可知b是斜率為1的直線在y軸上的截距．于是，問(wèn)題(1)實(shí)質(zhì)是求圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率的最大值，問(wèn)題(2)實(shí)質(zhì)上是求斜率為1的直線與已知圓有公共點(diǎn)時(shí)直線的縱截距的最小值．