Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\frac{e^x}{x}$．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與直線y=kx相切于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)a≤e時(shí)，證明：當(dāng)x∈（0，+∞），f（x）≥a（x-lnx）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），$f'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，由題意列出方程組，能求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-a（x-lnx）=$\frac{e^x}{x}-a（x-lnx）$，$g'（x）=\frac{{（{e^x}-ax）（x-1）}}{x^2}$，x∈（0，+∞），設(shè)h（x）=e^x-ax，x∈（0，+∞），則h'（x）=e^x-a，由此利用分類(lèi)討論和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明：當(dāng)x∈（0，+∞），f（x）≥a（x-lnx）．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），$f'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，
由題意知$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{e^{x_0}}（{x_0}-1）}}{{{x_0}^2}}=k\\ \frac{{{e^{x_0}}}}{x_0}=k{x_0}\end{array}\right.$解得x₀=2，所以${y_0}=\frac{{{e^{x_0}}}}{x_0}=\frac{e^2}{2}$，
從而點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（2，\frac{e^2}{2}）$．
證明：（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-a（x-lnx）=$\frac{e^x}{x}-a（x-lnx）$，
$g'（x）=\frac{{（{e^x}-ax）（x-1）}}{x^2}$，x∈（0，+∞），
設(shè)h（x）=e^x-ax，x∈（0，+∞），則h'（x）=e^x-a，
①當(dāng)a≤1時(shí)，因?yàn)閤＞0，所以e^x＞1，所以h'（x）=e^x-a＞0，
所以h（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）＞h（0）=1＞0；
②當(dāng)1＜a≤e時(shí)，令h'（x）=0，則x=lna，
所以x∈（0，lna），h'（x）＜0；x∈（lna，+∞），h'（x）＞0．
所以h（x）≥h（lna）=a（1-lna）≥0，
由①②可知：x∈（0，+∞）時(shí)，有h（x）≥0，
所以有：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↓	極小值	↑

所以g（x）_min=g（1）=e-a≥0，從而有當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）≥a（x-lnx）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、分類(lèi)討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．