Question

15．在△ABC中，5sinA+12cosB=15，12sinB+5cosA=2，則∠C=30度．

Answer 1

分析 先對(duì)條件中兩個(gè)式子平方后相加得到關(guān)于A+B的正弦值，再由誘導(dǎo)公式得到角C的正弦值，最后得到答案．

解答 解：對(duì)5sinA+12cosB=15，12sinB+5cosA=2，
兩個(gè)方程兩邊同時(shí)平方，然后兩式相加：25（sin²A+cos²A）+120（sinAcosB+sinBcosA）+144（sin²B+cos²B）=229．
化簡得：120（sinAcosB+sinBcosA）=60．
∴sin（A+B）=$\frac{1}{2}$
∴sin（180°-C）=sinC=$\frac{1}{2}$
得出∠C=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$，
若C=$\frac{5π}{6}$，則A+B=$\frac{π}{6}$，cosB＜1，2sinA＜1，4sinA+2cosB=1，不成立，
所以C=$\frac{π}{6}$=30°．
故答案為：30．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用．屬中檔題．