Question

5．?dāng)?shù)列{a_n}，{b_n}滿足下列條件：a₁=0，a₂=1，a_n+2=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$，b_n=a_n+1-a_n
（1）求證：{b_n}是等比數(shù)列．
（2）求{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）把數(shù)列遞推式變形，得到即$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=-\frac{1}{2}$，即$\frac{_{n+1}}{_{n}}=-\frac{1}{2}$為定值，從而證明{b_n}是等比數(shù)列；
（2）由已知求出數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．

解答 （1）證明：由a_n+2=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$，得2a_n+2=a_n+a_n+1，
2a_n+2-2a_n+1=a_n-a_n+1，∴2（a_n+2-a_n+1）=-（a_n+1-a_n），
即$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=-\frac{1}{2}$，$\frac{_{n+1}}{_{n}}=-\frac{1}{2}$為定值．
∴{b_n}是公比為-$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（2）解：∵a₁=0，a₂=1，∴b₁=a₂-a₁=1-0=1．
∴數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為1，公比為-$\frac{1}{2}$，
則$_{n}=（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．