Question

8．如圖，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，BE∥PA，BE=$\frac{1}{2}$PA，F(xiàn)為PA的中點．
（1）求證：PC∥平面BDF．
（2）記四棱錐C-PABE的體積為V₁，三棱錐P-ACD的體積為V₂，求$\frac{V_1}{V_2}$的值．

Answer 1

分析 （1）取AC中點O，連結(jié)OF，由中位線定理得OF∥PC，故PC∥平面BDF；
（2）設(shè)BE=a，求出V₁，V₂．

解答 （1）證明：連結(jié)BF，連接BD交AC與點O，連OF，
依題得O為AC中點，又F為PA的中點，
所以O(shè)F為△PAC中位線，所以O(shè)F∥PC
因為OF?平面BDF，PC?平面BDF
所以PC∥平面BDF．
（2）解：設(shè)BE=a，則PA=2BE=2a，
∴V₁=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABEP}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$（a+2a）×1×2=a．
V₂=$\frac{1}{3}{S}_{△PAD}•CD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2a×1$=$\frac{2a}{3}$．
∴$\frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．