Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax-1（a為常數(shù)，a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)所有x≥0都有f（x）≥f（-x），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而對(duì)a進(jìn)行分類討論，即可得到不同情況下函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)所有x≥0都有f（x）≥f（-x），即e^x-e^-x+2ax≥0在（0，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)令g（x）=e^x-e^-x+2ax，結(jié)合g（0）=0，可得g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合基本不等式求出最值，可得a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+a，
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0，得x＞ln（-a），f（x）在（ln（-a），+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
由f′（x）＜0，得x＜ln（-a），f（x）在（-∞，ln（-a））上是單調(diào)減函數(shù)．
綜上，a≥0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞）；
a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（ln（-a），+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-∞，ln（-a））．
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥f（-x）恒成立，
即e^x+ax≥e^-x-ax恒成立，即e^x-e^-x+2ax≥0恒成立，
令h（x）=e^x-e^-x+2ax，即當(dāng)x0時(shí)，h（x）≥0恒成立，
又h′（x）=e^x+e^-x+2a，且h′（x）≥2+2a，x=0時(shí)等號(hào)成立．
①當(dāng)a≥-1時(shí)，h′（x）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
故h（x）≥h（0）=0恒成立．
②當(dāng)a＜-1時(shí)，方程h′（x）=0的正根為x₁=ln（-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$），
當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，h′（x）＜0，故h（x）在該區(qū)間為減函數(shù)，
所以，x∈（0，x₁）時(shí)，h（x）＜h（0）=0，∴a＜-1時(shí)不符合題意．
綜上，a的取值范圍是[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)恒成立，是函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．