Question

已知橢圓的離心率為，且短軸長為2．
（I）求橢圓方程；
（II）過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線交橢圓于A、B兩點，試將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）橢圓的離心率為，且短軸長為2，確定幾何量，從而可求橢圓方程；
（II）分m=1，m=-1及m≠±1，分別求出|AB|的長度，利用直線方程與橢圓方程進行聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系得到k與m之間關系等式，利用弦長公式求得弦長，再利用基本不等式，即可求得結論．
解答：解：（I）∵橢圓的離心率為，且短軸長為2
∴
∵a²=b²+c²
∴a²=4
∴橢圓方程為
（II）由題意知：|m|≥1，
當m=1時，切線l的方程為x=1，點A（1，）  點B（1，-） 此時|AB|=；
當m=-1時，同理可得|AB|=；
當m≠±1時，設切線l的方程為：y=k（x-m），由可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=，
∵l與圓x²+y²=1相切
∴圓心到直線l的距離等于圓的半徑，即=1
∴m=，
所以|AB|=
==
由于當m=±1時，|AB|=，
當m≠±1時，|AB|=，此時m∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
又|AB|=≤2，（當且僅當m=±時，|AB|=2），
所以，|AB|的最大值為2．
故|AB|的最大值為2．
點評：本題重點考查了橢圓及圓的標準方程，考查了點到直線的距離公式，聯(lián)立直線與橢圓的方程利用整體代換的思想建立m與k的關系等式是解題的關鍵．