Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，PB⊥AD，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°，
（Ⅰ）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；
（Ⅱ）求面APB與面CPB所成二面角的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，作PO⊥平面ABCD，垂足為點(diǎn)O， 連結(jié)OB、OA、OD、OB與AD交于點(diǎn)E，連結(jié)PE， ∵AD⊥PB， ∴AD⊥OB， ∵PA=PD， ∴OA=OD，于是OB平分AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)， 所以PE⊥AD， 由此知∠PEB為面PAD與面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°， 由已知可求得PE=， ∴PO=PE·sin60°=， 即點(diǎn)P到平面ABCD的距離為。
（Ⅱ）如圖，取PB的中點(diǎn)G，PC的中點(diǎn)F， 連結(jié)EG、AG、GF， 則AG⊥PB，F(xiàn)G∥BC，F(xiàn)G=BC， ∵AD⊥PB， ∴BC⊥PB，F(xiàn)G⊥PB， ∴∠AGF是所求二面角的平面角， ∵AD⊥面POB， ∴AD⊥EG， 又∵PE=BE， ∴EG⊥PB，且∠PEG=60°， 在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=， 在Rt△PEG中，EG=AD=1， 于是tan∠GAE=， 又∠AGF=π-∠GAE， 所以所求二面角的大小為π-arctan。