Question

16．在市高三學(xué)業(yè)水平測試中，某校老師為了了解所教兩個(gè)班100名學(xué)生的數(shù)學(xué)得分情況，按成績分成六組：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

分?jǐn)?shù)段	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）
人數(shù)	2	8	30	30	20	10

（Ⅰ）請(qǐng)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，完成頻率分布直方圖，并估算這100學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績；
（Ⅱ）該教師決定在[110，120），[120，130），[130，140）這三組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，然后再從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行談話，記這2名學(xué)生中有ξ名學(xué)生在[120，130）內(nèi)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)能作出頻率分布直方圖，利用頻率分布直方圖能估算這100學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績．
（Ⅱ）由題意，在[110，120），[120，130），[130，140）三組中，利用分層抽樣抽取的學(xué)生數(shù)分別為3，2，1，ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖如下：

∴估算這100學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績：
$\overline{x}$=10（85×0.002+95×0.008+105×0.03+115×0.03125×0.02+135×0.01）=113.8．
（Ⅱ）由題意，在[110，120），[120，130），[130，140）三組中，利用分層抽樣抽取的學(xué)生數(shù)分別為3，2，1，
∴ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{0}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{0}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

Eξ=$0×\frac{2}{5}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．