Question

10．若P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓焦點(diǎn)，則|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值之差為1．

Answer 1

分析 由題意知，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，|PF₁|+|PF₂|=2a=4；從而可得|PF₁|•|PF₂|=-（|PF₁|-2）²+4，從而求最大值與最小值即可．

解答 解：由題意知，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1；
|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
故|PF₁|•|PF₂|
=|PF₁|•（4-|PF₁|）
=-（|PF₁|-2）²+4，
∵a-c≤|PF₁|≤a+c，
∴1≤|PF₁|≤3，
∴3≤-（|PF₁|-2）²+4≤4，
∴|PF₁|•|PF₂|的最大值為4，最小值為3，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了配方法的應(yīng)用及焦半徑的應(yīng)用．