Question

12．設(shè)f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函數(shù)，且f（-$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$）＜0，則方程f（x）=0在[-1，1]內(nèi)（　�。�

• A． 可能有3個實數(shù)根
• B． 可能有2個實數(shù)根
• C． 有唯一的實數(shù)根
• D． 沒有實數(shù)根

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函數(shù)，判斷b的取值范圍，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）在R時是單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合f（-$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$）＜0得結(jié)論．

解答 解：由f（x）=x³+bx+c，得f′（x）=3x²+b，
∵f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函數(shù)，
∴f′（x）=3x²+b≥0對任意x∈[-1，1]恒成立，即b≥-3x²，
∴b≥0．
∴f′（x）=3x²+b≥0．
則f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
又f（-$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$）＜0，∴f（x）在（$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）上有唯一零點，
則方程f（x）=0在[-1，1]內(nèi)有唯一的實數(shù)根．
故選：C．

點評 本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出b的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．