Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=

1

2

AA₁=1，D是棱AA₁的中點．
（I） 求三棱錐D-ABC的體積V_D-ABC  
（Ⅱ）證明：DC₁⊥平面BDC．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（I）求出棱錐的底面積和高，代入棱錐體積公式，可得V_D-ABC的體積．
（Ⅱ）在矩形ACC₁A₁中，CD=DC₁=

2

，從而C₁D⊥DC，由由題意知AB=

2

，BD=

3

，由此利用勾股定理能證明△BDC₁是直角三角形，即C₁D⊥BD，由此能證明DC₁⊥平面BDC

解答： 解：（I）∵AC=BC=

1

2

AA₁=1，D是棱AA₁的中點，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×1×1=

1

2

，
又DA⊥平面ABC，
∴三棱錐D-ABC的體積為：V_D-ABC=

1

3

×S_△ABC×DA=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

證明：（Ⅱ）在矩形ACC₁A₁中，CD=DC₁=

2

，
∴DC²+DC₁²=CC₁²，
△C₁DC是直角三角形，
∴C₁D⊥DC，
由題意知AB=

2

，
在Rt△ABD中，AD=1，AB=

2

，
∴BD=

3

，
在Rt△A₁DC₁中，C₁D=

A1D2+A1C12

=

2

，
在Rt△BCC₁中，BC₁=

BC2+CC12

=

5

，
∴BD²+DC₁²=BC₁²，
∴△BDC₁是直角三角形．
即C₁D⊥BD，
又∵DC∩BD=D，
∴DC₁⊥平面BDC．

點評：本題考查三角形為直角三角形和證明，考查平面和平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．