Question

已知數(shù)列{bn}滿足b1=

1

2

，且bn+1=

1

2

bn
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)a_n=nb_n，求證：a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2．

Answer 1

分析：（1）利用等比數(shù)列的概念可知{b_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由于a_n=nb_n=n•(

1

2

)n，從而可知S_n=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n，利用錯(cuò)位相減法可求得S_n=2-(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n，從而可證得結(jié)論．

解答：解�。�1）∵b₁=

1

2

，且

bn+1

bn

=

1

2

，
∴{b_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴b_n=(

1

2

)n．
（2）證明：記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
∵a_n=nb_n=n•(

1

2

)n，
∴S_n=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n，

1

2

S_n=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+（n-1）×(

1

2

)n+n×(

1

2

)n+1，
兩式相減得

1

2

S_n=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n×(

1

2

)n+1
=1-(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1，
整理得S_n=2-(

1

2

)n-1-n×(

1

2

)n＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．