Question

17．已知△ABC的三個內角分別為A，B，C，且A≠$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）化簡$\frac{sin（\frac{3π}{2}+A）•cos（\frac{π}{2}-A）}{cos（B+C）•tan（π+A）}$；
（Ⅱ）若角A滿足sinA+cosA=$\frac{1}{5}$．
（i） 試判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形，并說明理由；
（ii） 求tanA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形內角和以及誘導公式化簡可得原式=cosA；
（Ⅱ）由sinA+cosA=$\frac{1}{5}$和sin²A+cos²A=1，聯(lián)立可解得sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=-$\frac{3}{5}$，可得（i）△ABC是鈍角三角形；（ii） tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=-$\frac{4}{3}$

解答 解：（Ⅰ）由題意化簡可得：
$\frac{sin（\frac{3π}{2}+A）•cos（\frac{π}{2}-A）}{cos（B+C）•tan（π+A）}$
=$\frac{-cosA•sinA}{-cosA•tanA}$=cosA；
（Ⅱ）∵sinA+cosA=$\frac{1}{5}$，又sin²A+cos²A=1，
結合sinA應為正數(shù)，聯(lián)立可解得sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=-$\frac{3}{5}$，
∴A為鈍角，故可得（i）△ABC是鈍角三角形；
（ii） tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=-$\frac{4}{3}$

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)化簡求值和同角三角函數(shù)基本關系，屬基礎題．