Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{2}{3}$，F(xiàn)₁、F₂分別為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C的上的頂點(diǎn)，且，△MF₁F₂的面積為2$\sqrt{5}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，過(guò)圓x²+y²=b²上一點(diǎn)P（點(diǎn)P在y軸右側(cè)），作該圓的切線l，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求△AF₂B的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{2}{3}}\\{\frac{1}{2}•2c•b=2\sqrt{5}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）設(shè)切點(diǎn)P（x₀，y₀），（x₀＞0）．切線l的方程為：y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=5．直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立可得：$（5{y}_{0}^{2}+9{x}_{0}^{2}）$x²-90x₀x+225-45${y}_{0}^{2}$=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|AB|=$\sqrt{（1+\frac{{x}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，|AF₂|=$\sqrt{{y}_{1}^{2}+（{x}_{1}-2）^{2}}$，|BF₂|=3-$\frac{2}{3}{x}_{2}$．即可得出△AF₂B的周長(zhǎng)=|AF₂|+|BF₂|+|AB|．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{2}{3}}\\{\frac{1}{2}•2c•b=2\sqrt{5}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=3，c=2，b²=5．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
（2）設(shè)切點(diǎn)P（x₀，y₀），（x₀＞0）．切線l的方程為：y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=5．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}x+\frac{5}{{y}_{0}}}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，化為：$（5{y}_{0}^{2}+9{x}_{0}^{2}）$x²-90x₀x+225-45${y}_{0}^{2}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{90{x}_{0}}{5{y}_{0}^{2}+9{x}_{0}^{2}}$=$\frac{90{x}_{0}}{25+4{x}_{0}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{225-45{y}_{0}^{2}}{5{y}_{0}^{2}+9{x}_{0}^{2}}$=$\frac{45{x}_{0}^{2}}{25+4{x}_{0}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{{x}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{5}{{y}_{0}^{2}}[（\frac{90{x}_{0}}{25+4{x}_{0}^{2}}）^{2}-\frac{180{x}_{0}^{2}}{25+4{x}_{0}^{2}}]}$=$\frac{60{x}_{0}}{25+4{x}_{0}^{2}}$
|AF₂|=$\sqrt{{y}_{1}^{2}+（{x}_{1}-2）^{2}}$=$\sqrt{5（1-\frac{{x}_{1}^{2}}{9}）+（{x}_{1}-2）^{2}}$=3-$\frac{2}{3}{x}_{1}$，
同理可得|BF₂|=3-$\frac{2}{3}{x}_{2}$．
∴△AF₂B的周長(zhǎng)=|AF₂|+|BF₂|+|AB|=3-$\frac{2}{3}{x}_{2}$+3-$\frac{2}{3}{x}_{1}$+$\frac{60{x}_{0}}{25+4{x}_{0}^{2}}$=6-$\frac{2}{3}$×$\frac{90{x}_{0}}{25+4{x}_{0}^{2}}$+$\frac{60{x}_{0}}{25+4{x}_{0}^{2}}$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次的方程的根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．