Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}中，a_n＞0，a₁=5，n≥2時(shí)，a_n+a_n-1=$\frac{7}{{a}_{n}{-a}_{n-1}}+6$．求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)a_n+a_n-1=$\frac{7}{{a}_{n}{-a}_{n-1}}+6$變形、整理可知a_n（a_n-6）-a_n-1（a_n-1-6）=7（n≥2），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n（a_n-6）}是以-5為首項(xiàng)、以7為公差的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+a_n-1=$\frac{7}{{a}_{n}{-a}_{n-1}}+6$，
∴${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$=7+6a_n-6a_n-1，
整理得：a_n（a_n-6）-a_n-1（a_n-1-6）=7（n≥2），
又∵a₁（a₁-6）=-5，
∴數(shù)列{a_n（a_n-6）}是以-5為首項(xiàng)、以7為公差的等差數(shù)列，
∴a_n（a_n-6）=-5+7（n-1）=7n-12，
即${{a}_{n}}^{2}$-6a_n，-7n+12=0，
解得：a_n=$\frac{6+\sqrt{36-4（-7n+12）}}{2}$=3+$\sqrt{7n-3}$，
或a_n=3-$\sqrt{7n-3}$（舍），
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3+$\sqrt{7n-3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．