Question

2．大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，某班一周內(nèi)（周一到周五）各天語文、數(shù)學(xué)、外語三科有作業(yè)的概率如下表：

	周一	周二	周三	周四	周五
語文	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$
數(shù)學(xué)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$
外語	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$

根據(jù)上表：
（Ⅰ）求周五沒有語文、數(shù)學(xué)、外語三科作業(yè)的概率；
（Ⅱ）設(shè)一周內(nèi)有數(shù)學(xué)作業(yè)的天數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）理解表格給出的數(shù)據(jù)，利用概率公式求解，P（A）=P（$\overline{{A}_{1}}$$\overline{{A}_{2}}$$\overline{{A}_{3}}$）=（1-P（A））（1-P（B））（1-P（C））；
（II）一周內(nèi)有數(shù)學(xué)作業(yè)的天數(shù)為ξ，則ξ的所有可能取值為0、1、2、3、4、5，分別求解概率，分清事件的構(gòu)成得出正確的概率，列出分布列．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)周五有語文、數(shù)學(xué)、外語三科作業(yè)分別為事件A₁、A₂、A₃周五沒有語文、數(shù)學(xué)、外語三科作業(yè)為事件A，
則由已知表格得：P（A₁）=$\frac{1}{2}$，P（A₂）=$\frac{2}{3}$，P（A₃）=$\frac{2}{3}$，P（A）=P（$\overline{{A}_{1}}$$\overline{{A}_{2}}$$\overline{{A}_{3}}$）=（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{2}{3}$）（1-$\frac{2}{3}$）；
（Ⅱ）設(shè)一周內(nèi)有數(shù)學(xué)作業(yè)的天數(shù)為ξ，則ξ的所有可能取值為0、1、2、3、4、5，
∴P（ξ=0）=（1-$\frac{1}{2}$）⁴（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{48}$
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}$$•\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$）³（1-$\frac{2}{3}$）+（1-$\frac{1}{2}$）⁴（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}$（$\frac{1}{2}$）²（1-$\frac{1}{2}$）²（1-$\frac{2}{3}$）+${C}_{4}^{1}$$•\frac{1}{2}$•（1-$\frac{1}{2}$）³$•\frac{2}{3}$=$\frac{7}{24}$
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}$•（$\frac{1}{2}$）³（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{2}{3}$）+${C}_{4}^{2}$$•（\frac{1}{2}）$²（1-$\frac{1}{2}$）²$•\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$
P（ξ=4）=${C}_{4}^{4}$（$\frac{1}{2}$）⁴（1-$\frac{2}{3}$）+${C}_{4}^{3}$×（$\frac{1}{2}$）³（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{16}$，
P（ξ=5）=（$\frac{1}{2}$）⁴×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{24}$，
所以隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{48}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{24}$

∴Eξ=0×$\frac{1}{48}$$+1×\frac{1}{8}$$+2×\frac{7}{24}$$+3×\frac{1}{3}$$+4×\frac{3}{16}$$+5×\frac{1}{24}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了離散型的概率問題在實(shí)際問題中的應(yīng)用，關(guān)鍵仔細(xì)閱讀題意，弄清概率的類型，結(jié)構(gòu)，熟練掌握好組合問題，屬于難題．