Question

設(shè)x=4是函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^4-x（x∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)；
（I）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)a＞0，g（x）=，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，5]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜4成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得f′（4）=0，即可用a表示b，通過對a分類討論，解出f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（II）利用（I）的結(jié)論即可得出函數(shù)f（x）的值域，利用函數(shù)g（x）的單調(diào)性即可得出值域，可得值域的交集=[m，n]．由存在ξ₁，ξ₂∈[0，5]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜4成立?|m-n|＜4，解出即可．
解答：解：（I）∵f'（x）=（2x+a-x²-ax-b）e^4-x=-[x²+（a-2）x+b-a]e^4-x
由f'（4）=0，得16+（a-2）4+b-a=0
即b=-3a-8，

=-（x-4）（x+a+2）e^4-x

在[-a-2，+∞）上為減函數(shù)．

在[4，+∞）上為減函數(shù)．
（II）當(dāng)a＞0時(shí)，-a-2＜0，
∴f（x）在[0，4]上為增函數(shù)，在[4，5]上為減函數(shù)，

∴f（0）＜f（5），
f（4）=16+4a-3a-8=a+8，

∴，
∵，
若存在ξ₁，ξ₂∈[0，5]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜4成立．
只要，

故．
點(diǎn)評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、等價(jià)轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．