Question

19．在Rt△ABC中，∠BCA=90°，P為邊AB上的一點，$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PB}$．
（Ⅰ）若λ=3，試用$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$表示$\overrightarrow{CP}$；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{CA}$|=4，|$\overrightarrow{CB}$|=3，且$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$=-6，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）λ=3時便得到$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，從而有$\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CA}=3（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CP}）$，然后進行向量的數(shù)乘運算便可用$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$表示出$\overrightarrow{CP}$；
（Ⅱ）可分別以CA，CB所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標系，從而得出點A，B的坐標，這便可求出$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{AB}$的坐標，而由$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PB}$即可用$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$表示出$\overrightarrow{CP}$，從而得出$\overrightarrow{CP}$的坐標，這樣由$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}=-6$進行數(shù)量積的坐標運算便可得出關(guān)于λ的方程，解方程便可得出λ的值．

解答 解：（Ⅰ）λ=3；
∴$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{PB}$；
∴$\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CA}=3（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CP}）$；
∴$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{CB}$；
（Ⅱ）以直線CA為x軸，直線CB為y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，
則：A（4，0），B（0，3）；
∴$\overrightarrow{CA}=（4，0），\overrightarrow{CB}=（0，3）$，$\overrightarrow{AB}$=（-4，3）；
由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，得$\overrightarrow{CP}$-$\overrightarrow{CA}$=λ（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CP}$）；
∴$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{λ+1}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{λ}{λ+1}$$\overrightarrow{CB}$=$（\frac{4}{λ+1}，\frac{3λ}{λ+1}）$；
又∵$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$=-6；
∴$\frac{4}{λ+1}$•（-4）+$\frac{3λ}{λ+1}•3=-6$；
解得λ=$\frac{2}{3}$．

點評 考查向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，建立平面直角坐標系，利用向量的坐標解決向量問題的方法，以及向量坐標的數(shù)乘運算和數(shù)量積的運算．