Question

在△ABC 中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且cosA=

1

3

．
①求cos2

B+C

2

+cos2A的值．
②若a=

3

，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

分析：①根據(jù)

B+C

2

=

π

2

-

A

2

，利用誘導(dǎo)公式cos（

π

2

-α）=sinα化簡(jiǎn)所求式子的第一項(xiàng)，然后再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為關(guān)于cosA的式子，將cosA的值代入即可求出值；
②由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，根據(jù)三角形的面積公式S=

1

2

bcsinA表示出三角形的面積，把sinA的值代入得到關(guān)于bc的關(guān)系式，要求S的最大值，只需求bc的最大值即可，方法為：根據(jù)余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入，并利用基本不等式化簡(jiǎn)，把a(bǔ)的值代入即可求出bc的最大值，進(jìn)而得到面積S的最大值．

解答：解：①∵cosA=

1

3

，
∴cos2

B+C

2

+cos2A=sin2

A

2

+cos2A
=

1-cosA

2

+(2cos2A-1)
=

1

2

(1-

1

3

)+(

2

9

-1)=-

4

9

；
②

由cosA= 1 3 得sinA= 1-cos2A = 2 2 3

，
∴S=

1

2

bcsinA=

2

3

bc，
要求S的最大值，只須求bc的最大值，
∴

2bc

3

=b2+c2-a2≥2bc-a2，又a=

3

，
∴bc≤

9

4

．(當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

3

2

時(shí)取等號(hào))，
故S的最大值為

3 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，三角形的面積公式，以及基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．