Question

設a＞0，函數(shù)f（x）=asinxcosx-sinx-cosx，x∈[0，

π

2

]的最大值為g（a）．
（1）設t=sinx+cosx，x∈[0，

π

2

]，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數(shù)m（t）；
（2）求g（a）．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）易知t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），x∈[0，

π

2

]⇒x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得t的取值范圍為[1，

2

]，從而可得sinxcosx=

t2-1

2

，于是可把f（x）表示為t的函數(shù)m（t）；
（2）由于m（t）=a•

t2-1

2

-t=

1

2

at²-t-

1

2

a=

1

2

a(t-

1

a

)2-

1

2

a-

1

2a

，t∈[1，

2

]，a＞0，利用二次函數(shù)的圖象與性質，通過對其對稱軸t=

1

a

范圍的討論，即可求得g（a）．

解答： 解：（1）t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴

2

2

≤sin（α+

π

4

）≤1，
∴1≤t≤

2

，
即t的取值范圍為[1，

2

]，
∵t=sinx+cosx，
∴sinxcosx=

t2-1

2

，
∴m（t）=a•

t2-1

2

-t=

1

2

at²-t-

1

2

a=

1

2

a(t-

1

a

)2-

1

2

a-

1

2a

，t∈[1，

2

]，a＞0；
（2）由二次函數(shù)的圖象與性質得：
①當

1

a

＜

1+ 2

2

，即a＞2（

2

-1）時，g（a）=m（

2

）=

1

2

a-

2

； 
②當

1

a

≥

1+ 2

2

，即0＜a≤2（

2

-1）時，g（a）=m（1）=-

2

，
∴g（a）=

1 2 a- 2 ，a＞2( 2 -1) - 2 ，0＜a≤2( 2 -1)

．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，突出換元法與二次函數(shù)的圖象與性質的考查，突出分類討論思想與運算能力的考查，屬于中檔題．