Question

已知函數(shù)f（x）=，x∈［1，+∞］.

（1）當(dāng)a=時，求函數(shù)f（x）的最小值；

（2）若對任意x∈［1，+∞］，f（x）＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解析：對于（1），將f（x）變形為f（x）=x+2+=x++2，然后利用單調(diào)性求解.對于（2），運用等價轉(zhuǎn)化＞0（x∈［1，+∞））恒成立，等價于x²+2x+a＞0恒成立，進(jìn)而解出a的范圍.

解：（1）當(dāng)a=時，f（x）=x++2.

    因為f（x）在區(qū)間［1，+∞］上為增函數(shù)，

    所以f（x）在區(qū)間［1，+∞］上的最小值為f（1）=.

（2）解法一：在區(qū)間［1，+∞］上，f（x）=＞0恒成立x²+2x+a＞0恒成立.

    設(shè)y=x²+2x+a，∵（x+1）²+a-1在［1，+∞］上單調(diào)遞增.∴當(dāng)x=1時，y_min=3+a.于是當(dāng)且僅當(dāng)y_min=3+a＞0時，函數(shù)f（x）＞0恒成立，

∴a＞-3.

解法二：f（x）=x++2，x∈［1，+∞］.

    當(dāng)a≥0時，函數(shù)f（x）的值恒為正；當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增.

    故當(dāng)x=1時，f（x）_min=3+a.

    于是當(dāng)且僅當(dāng)f（x）_min=3+a＞0，函數(shù)f（x）＞0恒成立.

    故a＞-3.