Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，an+1=(

2

-1)(an+2)，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}中，b₁=2，bn+1=

3bn+4

2bn+3

，n=1，2，3，…，證明：

2

＜bn≤a4n-3，n=1，2，3，…

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對(duì)an+1=(

2

-1)(an+2)進(jìn)行整理可得到an+1-

2

=(

2

-1)(an-

2

)，即數(shù)列{an-

2

}是首項(xiàng)為2-

2

，公比為

2

-1的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得到an-

2

=

2

(

2

-1)n，進(jìn)而得到an=

2

[(

2

-1)n+1]．
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)n=1時(shí)可得到b₁=a₁=2滿足條件，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)滿足條件進(jìn)而得到0＜bk-

2

≤a4k-3-

3

當(dāng)n=k+1時(shí)再對(duì)bk+1-

2

=

3bk+4

2bk+3

-

2

進(jìn)行整理得到bk+1-

2

=

(3-2 2 )(bk- 2 )

2bk+3

＜(3-2

2

)2(bk-

2

)≤(

2

-1)4(a4k-3-

2

)=a4k+1-

2

，進(jìn)而可得證．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)：an+1=(

2

-1)(an+2)=(

2

-1)(an-

2

)+(

2

-1)(2+

2

)=(

2

-1)(an-

2

)+

2

，an+1-

2

=(

2

-1)(an-

2

)．
所以，數(shù)列{an-

2

}是首項(xiàng)為2-

2

，公比為

2

-1的等比數(shù)列，an-

2

=

2

(

2

-1)n，
即a_n的通項(xiàng)公式為an=

2

[(

2

-1)n+1]，n=1，2，3，．
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，因

2

＜2，b₁=a₁=2，所以

2

＜b1≤a1，結(jié)論成立．
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即

2

＜bk≤a4k-3，
也即0＜bk-

2

≤a4k-3-

3

．
當(dāng)n=k+1時(shí)，bk+1-

2

=

3bk+4

2bk+3

-

2

=

(3-2 2 )bk+(4-3 2 )

2bk+3

=

(3-2 2 )(bk- 2 )

2bk+3

＞0，
又

1

2bk+3

＜

1

2 2 +3

=3-2

2

，
所以bk+1-

2

=

(3-2 2 )(bk- 2 )

2bk+3

＜(3-2

2

)2(bk-

2

)≤(

2

-1)4(a4k-3-

2

)=a4k+1-

2

．
也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
根據(jù)（ⅰ）和（ⅱ）知

2

＜bn≤a4n-3，n=1，2，3，．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法--構(gòu)造法和數(shù)學(xué)歸納法的一般過(guò)程．考查綜合運(yùn)用能力和計(jì)算能力．