Question

20．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=n²-4n+4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{c_n}中，所有滿足c_k•c_k+1＜0的正整數(shù)k的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列{c_n}的變號(hào)數(shù)，令c_n=1-$\frac{4}{{a}_{n}}$（n為正整數(shù)），求數(shù)列{c_n}的變號(hào)數(shù)；
（3）記數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，若T_2n+1-T_n≤$\frac{m}{15}$對n∈N⁺恒成立，求正整數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1，進(jìn)而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）驗(yàn)證n≥2時(shí)有2個(gè)變號(hào)數(shù)，判斷n=1時(shí)變號(hào)數(shù)有1個(gè)，最后綜合可得答案；
（3）通過（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{1}{2n-5}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，從而P_n=T_2n+1-T_n=$\frac{1}{2n-3}$+$\frac{1}{2n-1}$+…+$\frac{1}{2n+2n-3}$，通過作差可知P_n取最大值P₂=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$=$\frac{23}{15}$，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n=n²-4n+4，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-5，
又∵但n=1時(shí)，a₁=1，不滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{2n-5，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，c_n=$\left\{\begin{array}{l}{-3，}&{n=1}\\{1-\frac{4}{2n-5}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
當(dāng)n≥2時(shí)，令c_n•c_n+1＜0，即$\frac{3}{2}$＜n＜$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{2}$＜n＜$\frac{9}{2}$，
∴n=2或n=4，
又∵c₁=-3，c₂=5，
∴當(dāng)n=1時(shí)也有c₁•c₂＜0，
綜上所述，數(shù)列{c_n}的變號(hào)數(shù)為3；
（3）由（1）可知，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{1}{2n-5}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴T_2n+1-T_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+（n+1）}}$
=$\frac{1}{2（n+1）-5}$+$\frac{1}{2（n+2）-5}$+…+$\frac{1}{2（2n+1）-5}$
=$\frac{1}{2n-3}$+$\frac{1}{2n-1}$+…+$\frac{1}{2n+2n-3}$，
記P_n=$\frac{1}{2n-3}$+$\frac{1}{2n-1}$+…+$\frac{1}{2n+2n-3}$，
則P_n+1=$\frac{1}{2n-1}$+…+$\frac{1}{2n+2n-3}$+$\frac{1}{2n+2n+1}$+$\frac{1}{2n+2n+5}$，
∵P_n+1-P_n=$\frac{1}{2n+2n+1}$+$\frac{1}{2n+2n+5}$-$\frac{1}{2n-3}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)P_n+1-P_n＞0，當(dāng)n≥2時(shí)P_n+1-P_n＜0，
∴P_n取最大值P₂=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$=$\frac{23}{15}$，
∴$\frac{23}{15}$≤$\frac{m}{15}$，即m≥23，
∴正整數(shù)m的最小值為23．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查新定義，解題的關(guān)鍵是理解新定義，判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而確定數(shù)列的變號(hào)數(shù)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．