Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x|x﹣a|，若對(duì)于任意的x1 ， x2∈[﹣2，+∞），x1≠x2 ， 不等式 ＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣4]∪{0}
【解析】解：由題意知，對(duì)于任意的x1 ， x2∈[﹣2，+∞），x1≠x2 ，
不等式 ＞0恒成立，
∴f（x）=x|x﹣a|在[﹣2，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）當(dāng)a≤﹣2時(shí)，
若x∈[﹣2，+∞），則f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其對(duì)稱軸為x= ，
此時(shí) ≤﹣2，所以f（x）在[﹣2，+∞）上是遞增的；
即a≤﹣4時(shí)滿足題意；
（2）當(dāng)a＞﹣2且a≠0時(shí)，
①若x∈[a，+∞），則f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其對(duì)稱軸為x= ，所以f（x）在[a，+∞）上是遞增的；
②若x∈[﹣2，a），則f（x）=x（a﹣x）=﹣x2+ax，其對(duì)稱軸為x= ，所以f（x）在[ ，a）上是遞減的，
因此f（x）在[﹣2，a）上必有遞減區(qū)間．
故可知當(dāng)a＞﹣2且a≠0時(shí)不成立，故舍去；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，可知函數(shù)為f（x）=x|x|= ，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，符合題意單調(diào)遞增的要求，故成立
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣4]∪{0}．