Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-ax²，x＞0．（f（x）的圖象連續(xù)不斷）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當a=

1

8

時，證明：存在x₀∈（2，+∞），使f(x0)=f(

3

2

)；
（Ⅲ）若存在均屬于區(qū)間[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），證明

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

Answer 1

（I）f′(x)=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，x∈(0，+∞)，
令f′(x)=0，解得x=

2a

2a

．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：



 所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

2a

2a

)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(

2a

2a

，+∞)．
（II）證明：當a=

1

8

時，f(x)=lnx-

1

8

x2．
由（I）知f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，
在（2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
令g(x)=f(x)-f(

3

2

)．
由于f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，
故f(2)＞f(

3

2

)，即g(2)＞0．
取x′=

3

2

e＞2，則g(x′)=

41-9e2

32

＜0．
所以存在x₀∈（2，x'），使g（x₀）=0，
即存在x0∈(2，+∞)，使f(x0)=f(

3

2

)．
（說明：x'的取法不唯一，只要滿足x'＞2，且g（x'）＜0即可）
（III）證明：由f（α）=f（β）及（I）的結(jié)論知α＜

2a

2a

＜β，
從而f（x）在[α，β]上的最小值為f（a）．
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．
故

f(2)≥f(α)≥f(1) f(2)≥f(β)≥f(3).

即

ln2-4a≥-a ln2-4a≥ln3-9a.

從而

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．