Question

（09年海淀區(qū)二模文）（14分）

如圖，直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，D、E分別是BC、A₁B₁的中點.

   （1）證明：BE//平面A₁DC₁；

   （2）求AB=BC=AA₁=1，∠ABC=90°求二面角B₁―BC_­1―E的正切值.

Answer 1

解析：方法1：（I）證明：取A₁C₁的中點F，

       連結(jié)EF，DF  …………………1分

       E中A₁B₁的中點

      

       又四邊形BCC₁B₁是矩形，

      

D是BC的中點，

      

四邊形EFDB是平行四邊形，

          4分

     6分

   （II）連結(jié)B₁C交BC₁于O點，連結(jié)EO ……..  7分

      

       即

       又

       平面BC₁B₁    9分

      

       ，且四邊形BCB₁C₁是正方形，

           10分

   

       在平面BC₁B₁上的射影，

      

       是二面角B₁―BC₁―E的平面角，   11分

       在直角

      

           13分

          14分

       方法2：

   （I）證明同方法1    6分

   （II）以B為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系

      

       可得   7分

       則   8分

       設(shè)平面BEC₁的法向量為

       由

       可得    9分

       令   10分

       又由平面B₁BC₁，

       則平面的法向量

          12分

   （注：公式、結(jié)果各一分）

       由圖可知二面角B₁―BC₁―E小于90°

       所以二面角的大小為.                                               13分

       ∴二面角的正切值為                14分