Question

7．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和圓x²+y²=（$\frac{2}$+c）²，（c為橢圓的半焦距），有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{5}$，$\frac{3}{5}$）
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
• C． （$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{3}{5}$）
• D． （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）

Answer 1

分析 法一：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=（\frac{2}+c）^{2}}\end{array}\right.$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2}$=（$\frac{2}+c$）²-b²，推導(dǎo)出$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}＜c}\\{\frac{2}＜a-c}\end{array}\right.$，從而$\left\{\begin{array}{l}{5{e}^{2}＞1}\\{5{e}^{2}-8e+3＞0}\end{array}\right.$，且0＜e＜1，由此能出橢圓的離心率e的取值范圍．
法二：圓的半徑滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}+c＞b}\\{\frac{2}+c＜a}\end{array}\right.$，由$\frac{2}+c＞b$，得2c＞b，再平方得4c²＞b²，在橢圓中，a²=b²+c²＜5c²，從而e=$\frac{c}{a}＞\frac{\sqrt{5}}{5}$，由$\frac{2}+c＜a$，得b+2c＜2a，推導(dǎo)出e＜$\frac{3}{5}$．由此能求出橢圓的離心率e的取值范圍．故選：C．

解答 解：法一：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=（\frac{2}+c）^{2}}\end{array}\right.$，消去y²，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2}$=（$\frac{2}+c$）²-b²，
∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和圓x²+y²=（$\frac{2}$+c）²，（c為橢圓的半焦距），有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴0＜x²＜a²，∴0＜$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2}$＜c²，
∴0＜（$\frac{2}+c$）²-b²＜c²，
∴b＜$\frac{2}+c$＜a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}＜c}\\{\frac{2}＜a-c}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{b＜2c}\\{b＜2a-2c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{^{2}＜4{c}^{2}}\\{^{2}＜4{a}^{2}+4{c}^{2}-8ac}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{5{e}^{2}＞1}\\{5{e}^{2}-8e+3＞0}\end{array}\right.$，且0＜e＜1，
解得$\frac{\sqrt{5}}{5}＜e＜\frac{3}{5}$．
故選：C．
法二：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和圓x²+y²=（$\frac{2}$+c）²，（c為橢圓的半焦距），有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
橢圓與圓的中心都是原點(diǎn)，
∴圓的半徑滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}+c＞b}\\{\frac{2}+c＜a}\end{array}\right.$，
由$\frac{2}+c＞b$，得2c＞b，再平方得4c²＞b²，
在橢圓中，a²=b²+c²＜5c²，
∴e=$\frac{c}{a}＞\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由$\frac{2}+c＜a$，得b+2c＜2a，
再平方，得：b²+4c²+4bc＜4a²，
∴3c²+4bc＜3c²，∴4bc＜3b²，
∴4c＜3b，∴16c²＜9b²，
∴16c²＜9a²-9c²，∴9a²＞25c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}＜\frac{9}{25}$，∴e＜$\frac{3}{5}$．
綜上，橢圓的離心率e的取值范圍是（$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{3}{5}$）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，考查橢圓性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．