Question

19．如圖，在三棱錐A-BCD中，△ABD為邊長等于$\sqrt{2}$正三角形，CD=CB=1．△ADC與△ABC是有公共斜邊AC的全等的直角三角形．
（Ⅰ）求證：AC⊥BD；
（Ⅱ）求D點到平面ABC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BD中點M，連AM、CM，證明BD⊥面ACM，即可證明AC⊥BD；
（Ⅱ）證明面ABCE⊥面DEC，過D作DF⊥EC，交EC于F，DF即為D點到平面ABC的距離．

解答 （Ⅰ）證明：取BD中點M，連AM、CM
∵AD=AB
∴AM⊥BD，
又∵DC=CB，
∴CM⊥BD，CM∩AM=M，
∴BD⊥面ACM，AC?面ACM，
∴BD⊥AC                         …（6分）
（Ⅱ）過A作AE∥BC，AE=BC，連接EC、ED，
則AB∥EC，AB=EC
∵BC⊥AB，
∴BC⊥EC，
又∵BC⊥DC，EC∩DC=C，
∴BC⊥面DEC
∵BC?面ABCE，
∴面ABCE⊥面DEC
過D作DF⊥EC，交EC于F，DF即為所求，
在△DEC中，DE=DC=1，EC=$\sqrt{2}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$                                                            …（12分）

點評 本題考查線面垂直，面面垂直的證明，考查點到平面距離的計算，屬于中檔題．