Question

求圓心在直線3x+4y-1=0上，且經(jīng)過兩圓x²+y²-x+y-2=0與x²+y²=5的交點(diǎn)的圓的方程.

Answer 1

【探究】  先求兩圓的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，這可以通過解方程組得到，之后再利用一般方程或圖形的幾何特征求解.

以下又可以有兩種方法來解決.

解法一：解方程組得兩圓的交點(diǎn)為A(1，-2)和B(2，-1).

設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0.

∵A、B在圓上，且圓心(，)在直線3x+4y-1=0上，

∴

解得

∴所求圓的方程是x²+y²+2x-2y-11=0.

解法二：解方程組得兩圓的交點(diǎn)為A(1，-2)和B(2，-1).于是線段AB的垂直平分線方程是x+y=0.

∵圓心在直線3x+4y-1=0上，∴由解得

∴圓心C的坐標(biāo)是(-1，1).

∵圓的半徑r=|AC|=，∴圓的方程是(x+1)²+(y-1)²=13.

【規(guī)律總結(jié)】 求圓的方程，關(guān)鍵是確定圓心和半徑，待定系數(shù)法是最常用的方法.解法一利用了一般方程，解法二則直接求出圓心和半徑，另外本題也可利用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程x²+y²+D₁x+E₁y+F₁+λ (x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0(λ∈R，λ≠-1)，整理成一般式，得到圓心，代入已知直線，建立關(guān)于λ的方程，求解后代入所設(shè)圓系方程，這種解法思路非常清晰.