Question

已知數(shù)列{a_n}是以d為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是以q為公比的等比數(shù)列．
（1）若數(shù)列{b_n}的前n項的和為S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜a₁₀₀₃+5b₂，求整數(shù)q的值；
（2）在（1）的條件下，試問數(shù)列{b_n}中是否存在一項b_k，使得b_k恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)p（p∈N，p≥2）項的和？請說明理由；
（3）若b₁=a₁，b₂=a_s≠a_rb₃=a_t，（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數(shù)），求證：數(shù)列{b_n}中每一項都是數(shù)列{a_n}中的項．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，，由S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，得b₁+b₂+b₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，由此能求出q．
（2）假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在一項b_k，滿足b_k=b_m+b_m+1+…+b_m+p-1，因為，所以b_k＞b_m+p-1，從而得到k≥m+p，由此能推導(dǎo)出這樣的項b_k不存在．
（3）由b₁=a₁，得b₂=b₁q=a₁q=a_s=a_r+（s-r）d，所以d=．由=，知．由此能夠證明數(shù)列{b_n}中每一項都是數(shù)列{a_n}中的項．
解答：解：（1）由題意知，，
所以由S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，
得b₁+b₂+b₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，
∴b₁-4b₂+b₃＜2006-2010，
∴q²-4q+3＜0，
解得1＜q＜3，又q為整數(shù)，所以q=2．
（2）假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在一項b_k，
滿足b_k=b_m+b_m+1+…+b_m+p-1，
因為，
∴b_k＞b_m+p-1，∴2^k＞2^m+p-1，∴k＞m+p-1，∴k≥m+p，（*）
又∵=b_m+b_m+1+…+b_m+p-1
=2^m+2^m+1+…+2^m+p-1
=
=2^m+p-2^m＜2^m+p，
所以k＜m+P，此與  （*）式矛盾．
所以，這樣的項b_k不存在．
（3）由b₁=a₁，得b₂=b₁q=a₁q=a_s=a_r+（s-r）d，
則d=．
又∵=，
∴，
從而．
因為a_s≠a_r，b₁≠b₂，所以q≠1，又a_r≠0，故q=．
又t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數(shù)，所以q是正整數(shù)，且q≥2．
對于數(shù)列{b_n}中任一項b_i（這里只要討論i＞3的情形），有
b_i==
=
=
=，
由于（s-r）（1+q+q²+…+q^i-2）+1是正整數(shù)，
所以b_i一定是數(shù)列{a_n}中的項．
故數(shù)列{b_n}中每一項都是數(shù)列{a_n}中的項．
點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運用，綜合性強，難度大，對數(shù)學(xué)思維的要求較高．解題時要認真審題，注意計算能力的培養(yǎng)．