Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是線段A₁D，BC₁上的動(dòng)點(diǎn)，則線段MN的最小值為（　�。�

• A．1
• B．

  2

• C．

  3

• D．

  2 3

  3

Answer 1

分析：建立空間直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)然后利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式求出|MN|的表達(dá)式然后根據(jù)表達(dá)式的特征求其最小值即可．

解答：解：建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A₁（1，0，1），C₁（0，1，1），B（1，1，0）
∴

OA1

=（1，0，1），

BC1

=（-1，0，1）
設(shè)M（x，0，y），N（m，n，p）
∵

OM

=λ1

OA

，

BN

=λ2

BC1

（0≤λ₁，λ₂≤1）
∴

x=λ1 y=λ1

，

m=1-λ2 n=1 p=λ2

即M（λ₁，0，λ₁），N（1-λ₂，1，λ₂）
∴由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得|MN|=

(λ1+λ2-1) 2+1+(λ1-λ2)2

≥1
  當(dāng)且僅當(dāng)

λ1+λ2-1=0 λ1=λ2

即

λ1= 1 2 λ2= 1 2

時(shí)取“=”
∴線段MN的最小值為1
故答案選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了空間中兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，屬中等難度的試題．解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系然后利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式求出|MN|但利用向量的共線定理得出

OM

=λ1

OA

，

BN

=λ2

BC1

（0≤λ₁，λ₂≤1）從而求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)是難點(diǎn)！