Question

設(shè)直線l與曲線f（x）=x³+2x+1有三個不同的交點A、B、C，且|AB|=|BC|=

10

，則直線l的方程為（　　）

• A、y=5x+1
• B、y=4x+1
• C、y=

  3

  x+1
• D、y=3x+1

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對稱性確定B的坐標，設(shè)出直線方程代入曲線方程，求出A的坐標，利用條件，即可求出斜率的值，從而得到直線的方程．

解答： 解：由題意，曲線f（x）=x³+2x+1是由g（x）=x³+2x，向上平移1個單位得到的，
函數(shù)g（x）=x³+2x是奇函數(shù)，對稱中心為（0，0），
曲線f（x）=x³+2x+1的對稱中心：B（0，1），
設(shè)直線l的方程為y=kx+1，
代入y=x³+2x+1，可得x³=（k-2）x，∴x=0或x=±

k-2

∴不妨設(shè)A（

k-2

，k

k-2

+1）（k＞2）
∵|AB|=|BC|=

10

∴（

k-2

-0）²+（k

k-2

+1-1）²=10
∴k³-2k²+k-12=0
∴（k-3）（k²+k+4）=0
∴k=3
∴直線l的方程為y=3x+1
故選：D．

點評：本題考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，設(shè)出直線方程是關(guān)鍵．