Question

已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12。（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得方程 f（x）+=0在區(qū)間（m，m+1）內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）∵f（x）是二次函數(shù)，且的解集是
∴可設(shè)
∴f（x）在區(qū)間上的最大值是
由已知，得
∴a=2
∴。
（2）方程等價(jià)于方程
設(shè)
則
當(dāng)時(shí)，，h（x）是減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，h（x）是增函數(shù)
∵
∴方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，
而在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根
所以存在惟一的自然數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。