Question

19.已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0）.

       （Ｉ）證明為常數(shù)；

       （Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

解：由條件知F（2,0）,設(shè)A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂).

（Ｉ）當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2, ）、（2，－），

此時(shí)·＝（1,）·（1,－）＝－1.

當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程是y=k(x-2)(k≠±1).

代入x²-y²=2有（1-k²）x²+4k²x-(4k²+2)=0.

則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以

于是·＝(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1)+k²(x₁-2)(x₂-2)=(k²+1)x₁x₂-(2k²+1)(x₁+x₂)+4k²+1 =+4k²+1=(-4k²-2)+4k²+1=-1.

綜上所述，·為常數(shù)－1.

（Ⅱ）解法一　設(shè)M（x,y），則＝（x-1,y）,=(x₁-1,y₁),＝（x₂-1,y₂），＝（－1,0）.由＝＋＋得：即

于是AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）.

當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，，即y₁-y₂=（x₁-x₂），

又因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，所以兩式相減得

（x₁-x₂）（x₁+x₂）=(y₁-y₂)(y₁+y₂),即（x₁-x₂）(x+2)=(y₁-y₂)y.

將y₁-y₂=(x₁-x₂)代入上式，化簡(jiǎn)得x²-y²=4.

當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，x₁=x₂=2,求得M（2,0）,也滿(mǎn)足上述方程.

所以點(diǎn)M的軌跡方程是x²-y²=4.

解法二　同解法一得                        ①

當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，由（Ⅰ）有x₁+x₂=,         ②

y₁+y₂=k(x₁+x₂-4)=k(-4)= .             ③

由①、②、③得x+2=,④　y=                ⑤

當(dāng)k≠0時(shí)，y≠0,由④、⑤得，＝k，將其代入⑤有y=，整理得x²-y²=4.

當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（－2,0）,滿(mǎn)足上述方程.

當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，x₁=x₂=2，求得M（2,0）,也滿(mǎn)足上述方程.

故點(diǎn)M的軌跡方程是x²-y²=4.