Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax-1（a∈R）．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間：
（Ⅱ）若f（x）≥x²對x≥0都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為e^x+ax-1-x²≥0對x≥0恒成立，令g（x）=e^x+ax-1-x²，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的最小值是非負(fù)數(shù)即可求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+a，
a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在R遞增；
a＜0時，令f′（x）＞0，解得：x＞ln（-a），
令f′（x）＜0，解得：x＜ln（-a），
∴f（x）在（-∞，ln（-a））遞減，在（ln（-a），+∞）遞增；
（Ⅱ）若f（x）≥x²對x≥0都成立，
即e^x+ax-1-x²≥0對x≥0恒成立，
令g（x）=e^x+ax-1-x²，g（0）=0，
∴只需g（x）在[0，+∞）遞增即可，
即g′（x）=e^x-2x+a≥0在[0，+∞）恒成立，
g″（x）=e^x-2，令g″（x）＞0，解得：x＞ln2，令g″（x）＜0，解得：x＜ln2，
∴g′（x）在（-∞，ln2）遞減，在（ln2，+∞）遞增，
∴只需g′（x）_min=g′（ln2）=2-2ln2+a≥即可，
解得：a≥2ln2-2．

點(diǎn)評 本題考查了求函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．