Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．

(1)證明：PA∥平面EDB；

(2)證明：PB⊥平面EFD；

(3)求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)證明：如圖連結(jié)AC，AC交BD于O，連結(jié)EO．∵底面ABCD是正方形．∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO．而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA∥平面EDB． (2)證明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC． ∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，DE⊥PC．① 同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC． ∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．而DE平面PDC， ∴BC⊥DE．② 由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD． (3)解：由(2)知，PB⊥DF，故是二面角C-PB-D的平面角． 由(2)知，DE⊥EF，PD⊥DB． 設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則PD=DC=a，， ，， ．在Rt△PDB中，． 在Rt△EFD中，,∴． 所以二面角C-PB-D的大小為．