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證明不等式：
1
1
+
1
1×2
+
1
1×2×3
+…+
1
1×2×3×…×n
＜2．
分析：將分母擴大，利用等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論．
解答：證明：由題意，
1
1
+
1
1×2
+
1
1×2×3
+…+
1
1×2×3×…×n
＜
1
1
+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
=2-
1
2n-1
＜2，
即
1
1
+
1
1×2
+
1
1×2×3
+…+
1
1×2×3×…×n
＜2．
點評：本題考查不等式的證明，考查等比數(shù)列的求和公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用數(shù)學歸納法證明不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
n+n
＞
13
24
的過程中，由n=k推導n=k+1時，不等式的左邊增加的式子是
1
(k+1)+k
+
1
(k+1)+(k+1)
-
1
k+1
1
(k+1)+k
+
1
(k+1)+(k+1)
-
1
k+1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

證明下列不等式：
（1）對任意的正實數(shù)a，b，有
1
1+a
≥
1
1+b
-
a-b
(1+b)2
；
（2）
C
0
n
•
50
50+1
+
C
1
n
•
51
51+1
+
C
2
n
•
52
52+1
+…+
C
n
n
•
5n
5n+1
≥
2n•5n
3n+5n
，n∈N．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•佛山一模）設(shè)g（x）=ex，f（x）=g[λx+（1-λ）a]-λg（x），其中a，λ是常數(shù)，且0＜λ＜1．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：對任意正數(shù)a，存在正數(shù)x，使不等式|
ex-1
x
-1|＜a成立；
（3）設(shè)λ1，λ2∈R+，且λ1+λ2=1，證明：對任意正數(shù)a1，a2都有：
a
λ1
1
+a
λ2
2
≤λ1a1+λ2a2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

A、已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，連接DB、DE、OC．若AD=2，AE=1，求CD的長．
B．運用旋轉(zhuǎn)矩陣，求直線2x+y-1=0繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后所得的直線方程．
C．已知A是曲線ρ=3cosθ上任意一點，求點A到直線ρcosθ=1距離的最大值和最小值．
D．證明不等式：
1
1
+
1
1×2
+
1
1×2×3
+L+
1
1×2×3×L×n
＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（05年江蘇卷）（14分）

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且

其中A,B為常數(shù).

（Ⅰ）求A與B的值；

（Ⅱ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列；

（Ⅲ）證明不等式對任何正整數(shù)m、n都成立.

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