Question

已知關(guān)于x的實系數(shù)二次方程x²＋ax＋b＝0有兩實根α、β，證明：

①如果｜α｜＜2，｜β｜＜2，則2｜a｜＜4＋b且｜b｜＜4;

②如果2｜a｜＜4＋b且｜b｜＜4，則｜α｜＜2，｜β｜＜2．

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)∵｜α｜＜2，｜β｜＜2，由韋達(dá)定理， ∴｜b｜＝｜αβ｜＝｜α｜·｜β｜＜4． 設(shè)f(x)＝x2＋ax＋b，如圖，拋物線開口向上，又｜α｜＜2，｜β｜＜2， ∴即 ∴－(4＋b)＜2a＜4＋b2｜a｜＜4＋b． (2)由2｜a｜＜4＋b得4＋2a＋b＞0， 即f(2)＞0;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ① 且4－2a＋b＞0，　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　    ② 即f(－2)＞0． 由此可知，f(x)＝0的每個實根或者在－2與2之間，或者在－2與2之外． 1)若兩根α，β均在－2與2之外，則與｜b｜＝｜αβ｜＜4相矛盾． 2)若α（或β）在－2與2之外，由于｜b｜＝｜αβ｜＜4，則另一根β(或α）必須落在－2與2之間． ∴f(－2)＜0（或f(2)＜0），這與①、②式矛盾． 綜上所述，α，β必須落在－2與2之間． ∴｜α｜＜2，｜β｜＜2．