Question

已知函數(shù)f(x)=-x³+m，其中m為常數(shù).

(1)證明函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)；

(2)當函數(shù)f(x)是奇函數(shù)時，求實數(shù)m的值.

Answer 1

思路分析：(1)利用定義法證明單調(diào)性；(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)求實數(shù)m的值.

(1)證明：設(shè)x₁＜x₂，則

f(x₁)-f(x₂)=(-x₁³+m)-(-x₂³+m)=x₂³-x₁³=(x₂-x₁)(x₂²+x₂x₁+x₁²)

=(x₂-x₁)［(x₂+)²+］.

∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，(x₂+)²+＞0.

∴f(x₁)＞f(x₂).

∴函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù).

(2)解：∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴f(-x)=-f(x).

∴對任意x∈R,總有-(-x)³+m=-(-x³+m)，即x³+m=x³-m.

∴m=0.