Question

5．已知函數(shù)f（x）=2sin²x+sinxcosx+cos²x（x∈R），求函數(shù)f（x）的最小正周期及遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 利用倍角公式、和差公式、平方關系可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin（x-\frac{π}{4}）$+$\frac{3}{2}$，再利用三角函數(shù)的周期公式、正弦函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：f（x）=2sin²x+sinxcosx+cos²x=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x+1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin（x-\frac{π}{4}）$+$\frac{3}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}$=2π．
由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z．
解得：2kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{3π}{4}$+2kπ，
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$+2kπ]，k∈Z．

點評 本題考查了倍角公式、和差公式、平方關系、三角函數(shù)的周期公式、正弦函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．